SESIÓN2: ESPACIOS VECTORIALES PARTE1

 

SESIÓN VIRTUAL N° 2: ALGEBRA LINEAL 2, PERIODO 2

 ESPACIOS VECTORIALES: PARTE1

Fecha de asignación: noviembre 9 /2020

Fecha de envío al docente: Son tres momentos de entrega:

Valoración1: fecha de entrega:Noviembre 17 /2020

Valoración2: fecha de entrega:Noviembre 22 /2020

Valoración3: fecha de entrega: Noviembre 27/2020

 

 

Estimad@s estudiantes reciban un saludo muy especial que hago extensivo a vuestra querida familia deseando siempre que gocen de buena salud y bienestar.

LO QUE DEBO RECORDAR:

Para alcanzar los objetivos de aprendizaje de esta sesión de tres clases, ya tenemos muy buenos ejemplos de estructuras matemáticas que se comportan como Espacios Vectoriales como los números reales, los números complejos, R², R³, las matrices mxn, los polinomios y  las funciones con sus especificidades).

 

LO QUE VOY A APRENDER EN ESTA SESIÓN:

 

Tendré la oportunidad de poner en práctica mis conocimientos y competencias matemáticas de análisis y síntesis para comprender las leyes matemáticas que caracterizan un Espacio Vectorial, y poder romper el paradigma cognitivo, que hasta la fecha nos hacía pensar en un concepto de vector muy ligado a la representación geométrica asociado a una flecha o sagita. Aquí tendremos la no muy frecuente oportunidad de romper paradigmas cognitivos asociados con la Matemática, pues en este sentido, una función se puede ver como un vector, una matriz, se pude ver como un vector. Sin más preámbulos, vamos al grano.   

A continuación, pongo a su disposición un material de lectura para que sea debidamente analizado y con los conocimientos adquiridos pueda acceder a la solución de problemas propuestos. Hay ejemplos resueltos.

DESCARGAR AQUÍ

 

VÍDEO 1: VECTORES EN UN ESPACIO ABSTRACTO

 

LO QUE VOY A PRESENTAR COMO EVIDENCIA DE MI APRENDIZAJE

 

Esta sesión se evaluará en tres momentos, tal como lo muestro en seguida:

Valoración1: El Concepto de Espacio Vectorial: fecha de entrega: Noviembre 17/2020

¿Qué entregas?

La Autoevaluación de las páginas 286-287, MAS los ejercicios 1,3,4,7,9,11 del pdf que se adjuntó como material de lectura.

DESCARGAR AQUÍ

 

Valoración 2: Subespacios Vectoriales: fecha de entrega: Noviembre 22 /2020

¿Qué entregas? La solución debidamente sustentada de lo siguiente:

La Autoevaluación MAS los Ejercicios de la Página 297: N°: 1,3,5,7,9,12.

DESCARGAR AQUÍ

VÍDEO 2:COMBINACIONES LINEALES Y SUSESPACIO GENERADO

 

Valoración 3: Combinaciones lineales y Espacio Generado: fecha de entrega:Noviembre27/2020

¿Qué entregas? La solución bien sustentada de:

Autoevaluación MAS Ejercicios de las páginas: 303-304: N°: 1,3,5,7,11,13,15.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 11-1, 11-2

 

SESIÓN VIRTUAL N° 1: ALGEBRA LINEAL 2, PERIODO 2

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Fecha de asignación: agosto 13 /2020

Fecha de envío al docente: Son tres momentos de entrega:

Valoración1: fecha de entrega:21 de agosto/2020

Valoración2: fecha de entrega: 4 de septiembre/2020

Valoración3: fecha de entrega: 18 de septiembre/2020

ENVIAR A: g.ariasinem@gmail.com

 

 

Estimad@s estudiantes reciban un saludo muy especial que hago extensivo a vuestra querida familia deseando siempre que gocen de buena salud y bienestar.

Estamos iniciando el segundo periodo de desarrollo académico de este año lectivo 2020 y espero estén bien predispuestos para asumir los retos académicos que nos esperan.

 

LO QUE DEBO RECORDAR:

Para alcanzar los objetivos de aprendizaje de esta sesión de tres clases, ya realizamos en la clase inmediatamente anterior una ubicación de las rectas y sus propiedades en dimensión 2, destacando la idea fundamental de que para determinar una recta en el plano se necesitan dos de sus puntos, información suficiente y necesaria para determinar su ecuación. Una consecuencia inmediata es que lo que hace que una recta sea esto y no otra cosa es su pendiente que será constante para cualquier par de puntos que se elijan. También será de gran importancia el conocimiento acumulado sobre el algoritmo de Gauss-Jordán y todo lo visto para vectores de dimensiones 2 y 3

 

 

 

LO QUE VOY A APRENDER EN ESTA SESIÓN:

 

Tendré la oportunidad de poner en práctica mis conocimientos y competencias matemáticas de análisis al deducir la ecuación vectorial de una recta en dimensión 3, y, a partir de ésta deducir sus ecuaciones paramétricas y simétricas. Resolveremos situaciones problema en las que aplicaremos las propiedades de paralelismo y perpendicularidad de rectas en el espacio a partir de las relaciones entre sus vectores directores.

Finalmente estudiaremos la definición de planos en el espacio, sus propiedades y resolveremos problemas integradores de rectas y planos en dimensión 3.

 A continuación, pongo a su disposición un material de lectura para que sea debidamente analizado y con los conocimientos adquiridos pueda acceder a la solución de problemas propuestos. Hay ejemplos resueltos.

 Descargar aqui

 

TRATE DE COMPRENDER ESTOS CONTENIDOS SOLO CON LA LECTURA.

PARA LOS EJERCICIOS DE LA VALORACIÓN 1 PUEDES APOYARTE

EN CASO DE SER ESTRICTAMENTE NECESARIO EN LOS VÍDEOS

 

VÍDEO 1: ¿Cómo obtener las Ecuaciones de la recta en el espacio (ecuación vectorial, paramétricas y continuas o simétricas)

 

VÍDEO 2: Ecuación de la recta en el espacio ( 4 trucos súper fácil)

 

 

 

LO QUE VOY A PRESENTAR COMO EVIDENCIA DE MI APRENDIZAJE

 

Esta sesión se evaluará en tres momentos, tal como lo muestro en seguida:

Valoración1: fecha de entrega:21 de agosto

¿Qué entregas?

Ejercicios de las páginas 271-272: N°: 1,3,5,9,11,13,17,19,21,23, 25,27,29,31.

  PARA LOS EJERCICIOS DE LA VALORACIÓN 2  SOBRE PLANOS PUEDES APOYARTE EN LOS VÍDEOS SIGUIENTE EN CASO DE SER ESTRICTAMENTE NECESARIO.

 

VÍDEO1: Ecuación de un plano que pasa por un punto y tiene un vector normal

 

Ecuación del plano: EJEMPLO

Valoración2: fecha de entrega: 4 de septiembre /2020

¿Qué entregas? La solución debidamente sustentada de los siguientes

Ejercicios de las páginas: 273-274: N°: 33, 37 ,41 ,45 ,47 ,51 ,53 ,55 ,57 ,59 ,61, 62 , 63 , 65.

Valoración 3: fecha de entrega:18 de septiembre

¿Qué entregas? La solución bien sustentada de :

La Autoevaluación de las páginas 270 y 271 del pdf que se adjuntó como material de lectura.

 

INFORMACIÓN IMPORTANTE PARA TODOS LOS ESTUDIANTES

Responda el siguiente formulario 

Este es un espacio para que te autoevalues y realices tus aportes al proceso de aprendizaje autónomo que venimos desarrollando en estos momentos de cuarentena,tus apreciaciones serán de gran utilidad para retroalimentar nuestro proceso
.

11:1-2: conocimientos previos a RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Fecha de asignación: lunes 13 de Julio/2020
Fecha de envío al docente: julio 24/2020

ESTA ES LA PRIMERA VALORACION DEL PERIODO 2

Estimad@s estudiantes estamos llegando al final de este primer período académico de este año lectivo 2020, y a pesar de las dificultades hemos logrado avanzar en el desarrollo académico de una manera exitosa.
Reciban un saludo muy especial que hago extensivo a vuestra querida familia deseando siempre que gocen de buena salud y bienestar.


LO QUE DEBO RECORDAR:


En esta clase te propongo un TALLER de 15 preguntas que recoge competencias matemáticas en los contextos algebraico y variacional, en el contenido específico de la línea recta en R2, sistemas 2x2 y sus métodos de solución incluido Gauss-Jordan.En segundo lugar,los conocimientos adquiridos en el estudio de vectores en R3, especialmente el producto cruz y sus propiedades son base fundamental para avanzar en el estudio de RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.


LO QUE VOY A APRENDER EN ESTA CLASE:


Tendré la oportunidad de poner en práctica mis conocimientos y competencias matemáticas en los ámbitos de los pensamientos Algebraico y variacional.Te propongo ver estos vídeos como apoyo,en caso de que necesites complementar tus ideas.

LO QUE VOY A PRESENTAR COMO EVIDENCIA DE MI APRENDIZAJE:


Debes enviar a mi correo g,arias007@gmail.com el solucionario: procedimientos y hoja de respuestas del archivo pdf adjunto.

Descargar Aquí


¡LAS MATEMÁTICAS SON PARA SIEMPRE!


Un momento para sonreir y disfrutar de un ameno vídeo de matemáticas, ¡disfrútalo!

              

ESCALA DE VALORACIÓN DE LA ACTIVIDAD: APLICACIONES DEL PRODUCTO CRUZ Y SOLUCIONARIO

HOLA JÓVENESY JOVENCITAS:

Reciban un especial saludo, extensivo a vuestra querida

familia.

 Revisen sus resultados de la ACTIVIDAD DE Aplicaciones del Producto Vectorial

PARA TENER EN CUENTA:

En esta oportunidad presentaré las soluciones dadas por el equipo de Venus Pérez, Juliana Benítez y Valentina Marroquín.

1. La puntualidad en la entrega de tus actividades es muy importante y será tenida en cuenta al momento de cierre de periodo académico.

2. Una vez sea publicado el solucionario de una actividad ningún estudiante podrá enviar respuestas ni justificaciones correspondientes a esta actividad.

3. Para saber cuál fue tu nivel de desempeño en esta actividad te envío las respuestas (claves) y la escala de valoración, simplemente cuenta tus aciertos de acuerdo a la escala propuesta.

Número de aciertos:

11 a 12................................................Superior

 8 a 10.................................................Alto

 4 a  7.................................................Básico

 3 o menos........................................... actividades de superación al regreso

4. La retroalimentación no consiste solamente en hacer conteo de aciertos y desaciertos, se trata fundamentalmente de que revises las soluciones de los problemas que te quedaron mal resueltos y re- aprendas a partir del error.

Descargar solucionario de APLICACIONES DEL PRODUCTO CRUZ

11-1.11-2 : ¿ Y PARA QUÉ EL PRODUCTO CRUZ?

¿Y PARA QUÉ SIRVE EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORES?

Fecha de publicación de la clase: junio 18/ 2020

Fecha de envío de actividades al Docente: julio 3/ 2020

INTRODUCCIÓN

Hola estimad@s estudiantes reciban un cariñoso saludo que hago extensivo a vuestra querida familia, deseando siempre que se encuentren bien compartiendo y cuidándose mucho.

En esta última clase de producto cruz estaremos relajad@s aprendiendo una forma alterna de ¨VER¨el producto cruz como operación vectorial de R³.También veremos cómo se contextualiza este concepto en la vida cotidiana y en la física, partiendo siempre de los saberes previos necesarios.

TE RECOMIENDO VER LOS VÍDEOS DE FORMA ANALÍTICA:

a. Un primer recorrido para captar la idea o intención general.

b. Verlo en detalle las veces que necesites tomando apuntes de los conceptos, propiedades, ejemplos planteados, de tal forma que tu mism@ puedas estar satisfech@ de haber aprovechado al máximo este apoyo didáctico propuesto.

c. No sobra decirte que si consideras necesario ver otros apoyos para reforzar o ampliar tus conocimientos lo puedes hacer, es más, de eso se trata, de poner en juego la autonomía en el aprendizaje, como acto personal que no se le puede delegar a nadie, los maestros y padres solo somos guías o facilitadores de este hermoso proceso.

1. LO QUE DEBES RECORDAR:

Los saberes previos para esta clase son todos los conceptos y propiedades del producto cruz estudiad@s en clases anteriores.

2. LO QUE ESPERO APRENDER:

Te presento cuatro vídeos. Los primeros tres vídeos muestran facetas interesantes del producto cruz como concepto matemático, desde lo cotidiano como por ejemplo que tiene que ver el producto cruz con el hecho de apretar o aflojar un tornillo con una llave de peston o de boca fija, o con la rotación de las llantas de un carro….¡¡¡INTERESANTE CIERTO ¡!!!. En el cuarto vídeo espero que aprendas una técnica muy PRÁCTICA y CURIOSA para calcular el producto cruz de vectores, ya no como determinante 3x3.

VIDEO 1: PRODUCTO PUNTO VS PRODUCTO VECTORIAL

 VÍDEO 2: PRODUCTO CRUZ COMO LA REGLA DE LA MANO DERECHA

 VÍDEO 3: ¿¿¿EL PRODUCTO CRUZ Y LOS TORNILLOS???

VÍDEO 4: !!! CÁLCULO DEL PRODUCTO CRUZ COMO POLINOMIOS ¡¡¡¡

3. LO QUE VOY A MOSTRAR COMO EVIDENCIA DE MI APRENDIZAJE:

1. Como resultado del análisis de los tres primeros vídeos vas a formular dos preguntas por cada vídeo, hay libertad total, pueden ser preguntas abiertas, un test para medir la comprensión de los conceptos o propiedades resaltadas en el vídeo, formular problemas en los que se aplique lo que el vídeo enseña, bueno ustedes verán como equipo que hacen….( Entregar en archivo Word).

En esta oportunidad no voy a valorar su capacidad para resolver…..sino su capacidad para preguntar….

2. En cuanto al vídeo 4, te propongo tres ejercicios en los que harás lo siguiente:

a. halla uxv como determinante

b. halla uxv como producto de polinomios mediante vectores unitarios, como lo explica el vídeo 4. Obvio los resultados en a. y b. deben ser iguales.

Responde a. y b. para:

1. U= 2i-3j+4k, V= - 4i+ 7j
2. U= 5j +4k,  V= 9i – 5j
3. U= i + j- k,   V= 4i- 2j +3k

11-1, 11-2: solucionario de propiedadesdel producto cruz

HOLA JÓVENESY JOVENCITAS:

Reciban un especial saludo, extensivo a vuestra querida

familia.

 Revisen sus resultados de la clase N°2.

PARA TENER EN CUENTA:

1. La puntualidad en la entrega de tus actividades es muy importante y será tenida en cuenta al momento de cierre de periodo académico.

2. Una vez sea publicado el solucionario de una actividad ningún estudiante podrá enviar respuestas ni justificaciones correspondientes a esta actividad.

3. Para saber cuál fue tu nivel de desempeño en esta actividad te envío una escala de valoración, simplemente cuenta tus aciertos de acuerdo a la escala propuesta.

Esta actividad tiene 7 preguntas que abarcan 24 items, por esta razón

tomé asi la escala:

Número de aciertos

22 a 24.................................................Superior

17 a 21.................................................Alto

12 a 16.................................................Básico

11 o menos...........................................se le envían actividades de superación.

4. La retroalimentación no consiste solamente en hacer conteo de aciertos y desaciertos, se trata fundamentalmente de que revises las soluciones de los problemas que te quedaron mal resueltos y re- aprendas a partir del error.

SOLUCIONARIO: producto cruz y sus propiedades

1. uxv=(-6,13,8)     vxu=(6,-13,-8)  conclusión uxv=-vxu,es decir

los vectores son paralelos pero de sentido opuesto(anti-paralelos).

2. u.(uxv)=0 y v.(uxv)=0 esto significa que el vector uxv es ortogonal tanto al vector u como al vector v.

3. En este ejercicio uxu=0, es obvio, pues al plantear el determinante, éste queda con las 2da. y 3a. filas iguales ( propiedad de los determinantes).Luego vxv=0, ixi=0, jxj=0, kxk=0.

ixj=k, jxk=i,kxi=j, interesante este ciclo cierto!!.

4. Como en general uxv=-vxu, entonces aplicando esta propiedad, para los casos de esta pregunta tendremos que:

jxi=-k, kxj=-i, ixk=-j....obvio que no necesitabas hacer determinantes.  

5. uxv=0 en ambos casos, aqui tampoco necesitabas calcular determinantes, pues si una fila de un determinante es múltiplo de otra, su valor es cero, ¡¡¡¡COMO LA VES!!!!

Quien conoce propiedades matemáticas ahorra tiempo y esfuerzos.

CONCLUSIÓN: dos vectores del espacio son paralelos si y solo si su producto cruz es cero. 

6. 1.uxv=(-6,-3,0)=-6i-3j

    2. uxv=(-12,-9,0)

    3. uxv=(-5,-1,7)= -5i-j+7k

    4. uxv= -9i+39j+61k

7. A.  +/- ( -9/13.45)i -( 6/13.45)j    +/- porque son 2 vectores.

    B.  uxv= -5i- 10j-k y su opuesto: 5i+10j+k

CLASE N° 3: 11: 1-2 APLICACIONES DEL PRODUCTO CRUZ

Clase virtual N° 3: APLICACIONES DEL PRODUCTO CRUZ

Estimad@s estudiantes de la MODALIDAD DE

MATEMÁTICAS, reciban un cariñoso saludo.

A continuación encontrarán nuestra clase n°3 de Álgebra lineal,

lean con mucha atención la Ruta de trabajo propuesta.

Asignatura: Algebra lineal 2

Grado: 11°: Modalidad de Matemáticas.

Fecha de publicación: Junio 1/2020.

Fecha de envío de actividades al docente: 16  de Junio/2020.

LEAN CON ATENCIÓN LOS REQUERIMIENTOS SIGUIENTES:


 LA ESTRATEGIA DEL TRABAJO EN EQUIPOS (5 PERSONAS)IMPLICA LA PARTICIPACIÓN DE TOD@S.ERES RESPONSABLE DE TU PROPIO APRENDIZAJE.

CADA ESTUDIANTE HACE SU ACTIVIDAD EN EL CUADERNO O EN WORD DE UNA VEZ.

LA INSTITUCIÓN HA ESTABLECIDO TIEMPOS FLEXIBLES PARA LA ENTREGA DE LOS PRODUCTOS DE SU TRABAJO.ESMERENSE POR CUMPLIR CON ESTOS PLAZOS.


LA PUNTUALIDAD ES UN VALOR MUY IMPORTANTE EN LA FORMACIÓN INTEGRAL DE LAS PERSONAS Y SE TENDRÁ MUY EN CUENTA AL DAR LA VALORACIÓN FINAL DE CADA PERÍODO ACADÉMICO.

ENVÍAR AL CORREO: g.ariasinem@gmail.com UN SOLO INFORME DE DOS ARCHIVOS UNO CON SOLO RESPUESTAS CONCRETAS POR EJEMPLO: Área del paralelo gramo es A=...., Volúmen del paralelepípedo V=.......) Y OTRO ARCHIVO CON LAS JUSTIFICACIONES,( CÁLCULO DE Áreas y Volúmenes) HECHAS EN WORD, O CON LAPICERO DE TINTA NEGRA.

 LA PERSONA DEL EQUIPO ENCARGADA DE ENVIAR EL TRABAJO COLOCA EN EL ASUNTO DEL CORREO SU NOMBRE, EL CURSO,Y LOS NOMBRES DEL RESTO DE INTEGRANTES DEL EQUIPO.



OBJETIVO:


Aprender a desarrollar aplicaciones geométricas del

produto cruz, para el cálculo de área de paralelogra 

mos y volúmen de paralelepípedos no rectos. 




1. LO QUE DEBES RECORDAR......


A continuación te propongo dos vídeos que te 

permitirán recordar saberes básicos de geometría 

para poder avanzar en el desarrollo de tus 

competencias matemáticas.

2. lO QUE ESPERO APRENDER EN ESTA CLASE



Actividad 1: Vamos a MOSTRAR con un ejemplo que

El cuadrado de la norma del producto cruz  de dos

 vectores es igual al producto de los cuadrados de sus

normas menos el cuadrado del producto punto entre

 ellos. El enunciado anterior, se expresa

 matemáticamente así:

 ‖uxv‖²=‖u‖²‖v‖²- (u.v)²

Dados los vectores u=(1-2,3) y v=(-2,4,3)


Haga la siguiente secuencia de pasos:

paso 1: Halle  ‖u‖ , ‖u‖² , ‖ v ‖ , ‖v‖² , ‖uxv‖ , ‖uxv‖²

paso 2: Halle u.v, (u.v)²

paso 3: Con los datos numéricos encontrados en los

pasos 1-2, realice la operación  ‖u‖²‖v‖²- (u.v)² .

paso 4: Compare el resultado  final del paso 3, con el 

obtenido para  ‖uxv‖²

Debes llegar a la igualdad: ‖uxv‖²=‖u‖²‖v‖²- (u.v)² 



Actividad 2: A continuación te propongo ver dos

 vídeos que te permitirán entender la 

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA CENTRAL DE 

ESTA CLASE Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

Teorema central

La norma del producto cruz de dos vectores del espacio es

igual al producto de sus normas por el seno del ángulo 

comprendido entre los dos vectores.


Comentario importante:


El vídeo en sus primeros 4.20 minutos muestra de manera general el resultado que nosotros verificamos en la actividad 1,de esta clase, ya que para probar este teorema se requiere saber que:


‖uxv‖²=‖u‖²‖v‖²- (u.v)²

Vale la pena ver  este vídeo las veces que sea necesario para poder comprender el Teorema. 

Norma del producto cruz

Interpretación Geométrica del Teorema de la norma del

producto cruz

3. TALLER PARA ENTREGAR:


PRÁCTICA1:


En cada ejercicio propuesto se dan tres vértices (puntos)

 consecutivos de un paralelogramo (o de un triángulo)

 nombrados P,Q,R. Debes, en cada caso determinar los vectores

 PQ=Q - P, y, QR= R - Q, que generan el  paralelogramo

 en cuestión. Puedes hacer u= PQ , v= QR.

I. En cada caso A,B,C halla el área de cada paralelogramo con 

la siguiente secuencia de pasos:

1. Grafique cada paralelogramo en el espacio.

2. Encuentra el ángulo α entre los vectores u y v que forman

el paralelogramo en cuestión.

3. Halla ‖u‖,  ‖ v ‖

4. Ahora calcula el área aplicando la fórmula:

A= ‖u‖ ‖ v ‖ senα.


A.  P(1,-2,3)  Q(2,0,1),  R(0,4,0)

B.   P(-2,1,0)  Q(1,4,2)   R(-3,1,5)

C.   P(1,3,-2)   Q(2,1,4)   R(-3,1,6)




II. Teniendo en cuenta el resultado del teorema central de esta

clase:...el área del paralelogramo generado por los vectores

u y v  es numéricamente igual a la norma del product cruz,

es decir, A=  ‖uxv‖, halla el área de los ejercicios propuestos

en los literales A,B,C del ejercicio anterior.


Que interesante cierto!!!



APLICACIÓN 2: VOLÚMEN DE UN PARALELEPÍPEDO

NO- RECTO (su altura no forma 90° con la base).


El siguiente vídeo te muestra como hallar el volúmen de

un paralelepípedo no -recto usando producto cruz y producto

punto.

TALLER 2 PARA ENTREGAR:


PRÁCTICA2:

Aplica el siguiente paso a paso para hallar el volúmen de

un paralelepípedo formado por los vectores u,v, w.

paso 1: Gráfique el paralelepípedo usando como base el 

paralelogramo generado por los vectores u,v;el vector 

w te permite hallar la altura del sólido.

paso 2: Halle uxv

paso 3: Tome el vector obtenido en el paso 2,y, calcule

el producto punto con el vector w, es decir, haga (uxv).w

paso 4: El resultado del paso 3, es un número real, toma su

valor absoluto y este es el volúmen del sólido pedido.

APLICA ESTOS 4 PASOS PARA HALLAR EL VOLÚ

MEN DE LOS PARALELEPÍPEDOS QUE GENERAN

LOS VECTORES u,v,w:

1. u= (1,-1,0)    v=(3,0,2)    w=(0,-7,3)

2. u=( -5,0,5)     v=(-3,-1,3)   w=(-5,-2,6)

3. u= AB            v= AC        w=AD    donde A.B,C,D

son los puntos A=(-2,1,4)   B=(-3,1,5)   C=(2,1,1)  D=(-4,3,2)

QUE CURIOSO RESULTADO. 



Ahora comprueba que tus tres ejercicios  anteriores  están

 correctos formando y calculando un determinante 3x3 que

 lleva en su primera fila las componentes del vector u,en la

 segunda fila las componentes del vector v y en la tercera fila las

componentes del vector w.

Te invito a que generalices esta curiosidad:

Toma tres vectores: u=(a,b,c)   v=(m,n,p)   w=(q,r,t)

realiza (uxv).w, luego  forma y calcula

 un determinante 3x3 que lleva en su primera fila las

componentes del vector, u; en la segunada fila las compo

nentes del vector v y en la tercera fila las componentes del 

vector w y tendrás un nuevo Teorema.